গতির সমীকরণ (Equations of Motion)

প্রথম সমীকরণ

শেষ বেগ, ত্বরণ এবং গতি কালের সম্পর্ক - v = u+at সমীকরণ প্রতিপাদন 

মনে করি কোন বস্তু u আদিবেগ নিয়ে a সুষম ত্বরণে t সময় চলে v শেষ বেগ প্রাপ্ত হয়। সুতরাং t সময় বেগের পরিবর্তন = v – u

আমরা জানি, বেগের পরিবর্তনের হারই ত্বরণ।

তাহলে, a = (v-u)/t 

বা, v-u = at 

বা, v = u+at

অর্থাৎ, শেষ বেগ = আদি বেগ + ত্বরণ * গতিকাল

বিশেষ ক্ষেত্র

যদি কোন বস্তুর আদিবেগ না থাকে, অর্থাৎ স্থির অবস্থান থেকে চলে তাহলে u = 0

তখন, v = at … … … (1) 

যেহেতু ত্বরণ = ধ্রুব, সুতরাং সমীকরণ (1) থেকে লেখা যায় 

v ∝ t

অর্থাৎ, স্থির অবস্থান থেকে সুষম ত্বরণে চলমান বস্তুর যেকোনো সময় বেগ সময়ের সমানুপাতিক।

 

দ্বিতীয় সমীকরণ

সরণ শেষ বেগ ও গতি কালের সম্পর্ক - s = {(u+v) / 2}*t সমীকরণ প্রতিপাদন

মনে করি কোন বস্তু u আদিবেগ নিয়ে সুষম ত্বরণে চলে s দূরত্ব অতিক্রম করে অর্থাৎ সরণ হয় s। যেহেতু বস্তুটি সুষম ত্বরণে চলে তাই এরা গড়বেগ হবে আদিবেগ ও শেষ বেগের গড়ের সমান।

অর্থাৎ গড়বেগ = (u+v)/2

আবার আমরা জানি, বেগ = সরণ /সময়

                                    = s/t

সুতরাং উপরিউক্ত সমীকরণ দুটি থেকে আমরা পাই-

s/t = (u+v)/2

বা, s = {(v+u)/2} * t

 

তৃতীয় সমীকরণ

সরণ, ত্বরণ ও গতি কালের সম্পর্ক - s = ut + (1/2) * at2 সমীকরণ প্রতিপাদন

মনে করি কোন বস্তু u আদিবেগ নিয়ে a সুষম ত্বরণে t সময় চলে v বেগ প্রাপ্ত হয়। মনে করি এ সময়ে বস্তুটি s দূরত্ব অতিক্রম করে অর্থাৎ বস্তুটির সরণ s হয়। তাহলে বস্তুর গড় বেগ v হবে-

v = s/t

বা, s = vt … … … (1)

অর্থাৎ বস্তুটি সুষম ত্বরণে চলে বলে গড় বেগ হবে এর আদিবেগ ও শেষ বেগের গড়ের সমান। অর্থাৎ-

v = (v+u)/2 … … … (2)

(1) সমীকরণে এই মান বসিয়ে আমরা পাই,

s = {(u+v)/2} * t … … … (3)

আবার আমরা জানি সময়ের সাথে অসম বেগের পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে, অর্থাৎ-

a = (v-u)/t

বা, v-u = at

বা, v = u+at

v এর এই মান (3) সমীকরণে বসিয়ে আমরা পাই-

s = {(u+u+at)/2} * t

বা, s = ut+(1/2) * at2

অর্থাৎ, দূরত্ব = আদিবেগ সময় + (1/2) * ত্বরণ * (গতিকাল)2

বিশেষ ক্ষেত্র

শুরুতে বস্তু স্থির থাকলে, u=0 অবস্থায়-

s = (1/2) * at2 … … … (4)

যেহেতু ত্বরণ a ধ্রুব, তাই সমীকরণ (4) থেকে দেখা যায়, s ∝ t2

অর্থাৎ, স্থির অবস্থান থেকে সুষম ত্বরণে চলমান বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব সময়ের বর্গের সমানুপাতিক।

 

চতুর্থ সমীকরণ

সরণ, ত্বরণ ও শেষ বেগের সম্পর্ক - v2 = u2 + 2aS

মনে করি, কোনো বস্তু u আদি বেগ নিয়ে a সুষম ত্বরণে t সময় চলে v শেষ বেগ প্রাপ্ত হয়। এই সময়ে বস্তুটি S দূরত্ব অতিক্রম করে, অর্থাৎ বস্তুটির সরণ হয় S।

তাহলে বস্তুর গড় বেগ v হলে-

v=s/t

বা, s=vt … … …(1)

আবার, বস্তুটি সুষম ত্বরণে চলে বলে এর গড় বেগ হবে এর আদি বেগ ও শেষ বেগের গাণিতিক গড়ের সমান, অর্থাৎ-

v=(u+v)/2 … … …(2)

(1) সমীকরণে এই মান বসিয়ে আমরা পাই-

 s = {(u+v)/2} * t … … …(3)

আবার, আমরা জানি সময়ের সাথে অসম বেগের পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে, অর্থাৎ-

a = (v-u)/t

বা, t = (v-u)/a

তাই, t এর এই মান (3) সমীকরণে বসিয়ে আমরা পাই,

S = {(u+v)/2} * {(v-u)/a}

বা, S = (v2-u2)/2a

বা, v2-u2 = 2aS

বা, v2 = u2 + 2aS

বিশেষ ক্ষেত্র

শুরুতে বস্তু স্থির থাকলে, u=0

তখন, v2 =2aS

আরো পড়তে পারো

ক্রাশ স্কুলের Youtube চ্যানেলের জয়েন করুন-

www.youtube.com/crushschool

অথিতি লেখক হিসেবে আমাদেরকে আপনার লেখা পাঠাতে চাইলে মেইল করুন-

write@thecrushschool.com

Abdul Mukit Nipun

ex Notre Damian, BUET ME’18. Like to keep connected with the rest of world and believe in humanity.