ভেক্টর লব্ধির সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মান

ভেক্টরের সামান্তরিক সূত্রানুসারে, P এবং Q দুটি ভেক্টর যখন α কোণে কাজ করে তখন তাদের লব্ধির মান হয়-

R = √ (P² + 2PQ cosα + Q²)

যদি α কোণের মান বিভিন্ন রকম হয় তখন দুটি ভেক্টরের লব্ধির মানের পরিবর্তন ঘটে। আমরা এখন α কোণের তিনটা মানের জন্য ভেক্টরের লব্ধির মান বের করব।

যখন α = 0° হয়

তখন ভেক্টর P এবং Q এর মাঝে কোনো angle বা কোণ থাকবে না। অর্থাৎ এরা দুজন একই দিকে কাজ করবে-

তাহলে, α = 0° অবস্থায় লব্ধির মান হবে-

R = √ (P² + 2PQ cos 0° + Q²)

or, R = √ (P² + 2PQ + Q²)

or, R = √ (P + Q)²

or, R = P + Q

একটু খেয়াল করো, লব্ধির এই মানটি হচ্ছে সর্বোচ্চ মান। অর্থাৎ, যখন দুটো ভেক্টর একই দিকে কাজ করে এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের মান শূন্য হয় তখন সেই ভেক্টর দুটির লব্ধি হয় সর্বোচ্চ। লব্ধির সর্বোচ্চ মান হচ্ছে ভেক্টর দুটির যোগফল। তাই এই লব্ধিকে লেখা হয় এভাবে-

R_max = P + Q

যখন α = 90° হয়

তখন একটি ভেক্টর অপর একটি ভেক্টরের উপর লম্ব বরাবর কাজ করে, তখন তাদের লব্ধি হয় ঠিক তাদের মাঝামাঝি জায়গা বরাবর।

এই অবস্থায় α = 90° হয় এবং ভেক্টরের লব্ধির মান হয়-

R = √ (P² + 2PQ cos 90° + Q²)

or, R = √(P² + Q²)

যখন α = 180° হয়

তখন ভেক্টর দুটি একে অপরের বিপরীত দিকে কাজ করে, অর্থাৎ α = 180° হয়, তখন একটা ভেক্টর অপর ভেক্টরের উপর কাজ করতে চায়। যে ভেক্টরের মান বেশি হয় লব্ধি সেই ভেক্টর বরাবর কাজ করে।

এই অবস্থায় দেখতে ওদের লব্ধির মান হয়-

R = √ (P² + 2PQ cos 180° + Q²)

or, R = √ (P² – 2PQ + Q²)

or, R = √ (P – Q)²

or, R = (P – Q) কিংবা (Q – P)

or, R = P ~ Q

অর্থাৎ দুটি ভেক্টর যখন একে অপরের বিপরীত দিকে কাজ করে তখন তাদের লব্ধির মান হয় ভেক্টর দুটির মানের পার্থক্যের সমান। এক্ষেত্রে লব্ধির মান সবচেয়ে কম হয়। তাই এই লব্ধিকে লেখা হয় এভাবে-

R_min = P ~ Q