গড় মুক্ত পথ

গড় মুক্ত পথ নিয়ে জানার ক্ষেত্রে গ্যাসের গতিতত্ত্ব হতে আমরা জানি যে, গ্যাসের অণুগুলো অবিরত বিক্ষিপ্ত গতিতে চারদিকে ছুটাছুটি করছে এবং পরস্পরের সাথে ও আধারে দেয়ালের সাথে ধাক্কা খাচ্ছে। অণুগুলোর পরস্পরের মধ্যে কোনো আকর্ষণ বল নেই, তাই তাদের বেগ অপরিবর্তিত থাকে। 

পর পর দুটি ধাক্কার ভিতর অণুগুলো সরলরেখায় যতটুকু পথ গমন করে তাকে মুক্ত পথ (free path) বলে। চিত্রে A একটি অণু-

এটি অপর একটি অণু B-কে ধাক্কা দিয়ে BC পথে চলে গেল এবং C স্থানে গিয়ে অপর একটি অণুর সাথে ধাক্কা খেল। অণুটি যদি D স্থানে গিয়ে অপর একটি অণুর সাথে, E স্থানে গিয়ে আরো একটি অণুর সাথে ধাক্কা খায় তাহলে BC, CD, DE হলো এক একটি মুক্ত পথ। এই মুক্ত পথের দৈর্ঘ্য সকল সময় সমান হয় না। সেজন্য গড় মুক্ত পথ নেয়া হয়। পর পর ধাক্কাগুলোর ভিতর একটি অণু যে গড় দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে গড় মুক্ত পথ (Mean Free Path) বলে।

ধরি, A হতে B-এর দূরত্ব = S1

B হতে C-এর দূরত্ব = S2

C হতে D-এর দূরত্ব = S3

যদি মোট S দূরত্ব অতিক্রান্তে N সংখ্যক ধাক্কা সংঘটিত হয়, তবে ঐ গ্যাস অণুর গড় মুক্ত পথ =

λ = (S1 + S2 + S3 +…….+ Sn) / N

= মোট অতিক্রান্ত পথ / ধাক্কার সংখ্যা

বিজ্ঞানী ক্লসিয়াস (Clausius) গড় মুক্ত পথের গাণিতিক রাশিমালা বের করেন। উক্ত রাশিমালা নির্ণয় করতে গিয়ে তিনি এই স্বীকার্য গ্রহণ করেন যে, একটি মাত্র অণু ছুটছে এবং বাকি অণুসমূহ স্থিরাবস্থায় আছে।

অণুর ব্যাস এবং গড় মুক্ত পথ এর মধ্যে সম্পর্ক

গ্যাসের গতিতত্ত্ব হতে আমরা জানি যে, গ্যাসের অণুগুলো সর্বদা পরস্পরের সাথে এবং আধারের দেয়ালের সাথে ধাক্কা খায়। অনুগুলোর পরস্পরের মধ্যে আকর্ষণ বল না থাকায়, তাদের বেগের কোনো পরিবর্তন ঘটে না। সংঘর্ষের ফলে অণুগুলো সমবেগে সরলরেখায় গমন করে। পর পর ধাক্কাগুলোর ভিতর অণু যে গড় পুরত্ব অতিক্রম করে, তাকে গড় মুক্ত পথ বলে। যদি কোনো গ্যাস অণু N সংখ্যক থাকার পর S দূরত্ব অতিক্রম করে, তবে তার Mean Free Path-

λ = মোট দূরত্ব / মোট ধাক্কার সংখ্যা

= S / N

গ্যাস অণুর সংখ্যা এবং অণুগুলোর ব্যাসের সাপেক্ষে গড় মুক্ত পথের রাশিমালা বের করা যায়। বিজ্ঞানী ক্লসিয়াস গড় মুক্ত পথের গাণিতিক রাশিমালা প্রতিপাদন করেন। এই রাশিমালা প্রতিপাদন করতে গিয়ে তিনি একটি মাত্র অণুর গতি বিবেচনা করেন এবং অন্য অণুগুলোকে স্থির মনে করেন।

মনে করি প্রতি একক আয়তনে n সংখ্যক অণু আছে এবং প্রতিটি অণুর ব্যাস a. আরও মনে করি একটি অণু v বেগে ছুটছে। আলোচ্য অণুটির কেন্দ্রবিন্দুকে কেন্দ্র করে ‘a’ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত অংকন করি। এই বৃত্তের উপর v দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি চোঙ বিবেচনা করি। চোঙটির আয়তন = πa²v। এই চোঙের যে সব অণুর কেন্দ্র থাকবে আলোচ্য অণুটি এক সেকেন্ডে তাদের সাথে ধাক্কা খাবে। প্রতি একক আয়তনে অণুর সংখ্যা N হলে চোঙটির মধ্যে অণুর সংখ্যা πa²v. আলোচ্য অণুটি যদি প্রতি সেকেন্ডে N সংখ্যক অণুর সাথে ধাক্কা খায়, তবে আমরা বলতে পারি প্রতি সেকেন্ডে অণুর সংখ্যা – N

 

ক্লসিয়াসের রাশিমালা

এখানে, দুটি ধাক্কার মধ্যে সময় = 1 / πa²v সেকেন্ড

সুতরাং দুটি ধাক্কার মধ্যবর্তী গড় দূরত্ব = (1 / πa²vn) v

   = 1/πa²n

Mean Free Path, λ = 1 / πa²v……….(i)

বিজ্ঞানী ক্লসিয়াস এই রাশিমালাটি প্রতিষ্ঠা করেন। উক্ত রাশিমালা হতে জানা যায় যে, গড় মুক্ত পথ একক আয়তনে অণুর সংখ্যার এবং আণবিক ব্যাসের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক। সমীকরণ (i)-এর ডানপক্ষের হর ও লবকে দ্বারা গুণ করে পাই,

λ = m/πa²mn

   = m / πa²p [mn = একক আয়তনের গ্যাস অণুগুলোর ভর = গ্যাসের ঘনত্ব = p]

যেখানে m, π, a ধ্রুব।

অর্থাৎ, গড় মুক্ত পথ গ্যাসের ঘনত্বের ব্যস্তানুপাতিক।

পুনরায় গ্যাসের ঘনত্ব p গ্যাসের চাপের সমানুপাতিক এবং তাপমাত্রার ব্যস্তানুপাতিক। যেহেতু λ ~ 1/p, অতএব গড় মুক্ত গ্যাসের চাপের ব্যস্তানুপাতিক এবং তাপমাত্রার সমানুপাতিক।

বিজ্ঞানী ক্লসিয়াস গড় মুক্ত পথের রাশিমালা প্রতিষ্ঠা করতে স্বীকার্য গ্রহণ করেন যে একটি মাত্র অণু গতিশীল এবং অন্য অণুগুলো স্থির। কিন্তু প্রকৃতপক্ষে সকল অণুই গতিশীল। পরে ম্যাক্সওয়েল তার বেগ বন্টন সূত্রের অবলম্বনে গড় মুক্ত পথের নিম্নোক্ত রাশিমালা নির্ণয় করেন।

λ = 1 / √2πa²n

সবক্ষেত্রে গড় মুক্ত পথ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে এই সমীকরণ ব্যবহার করা হয়।

গড় মুক্ত পথের নির্ভরশীলতা

এখন গড় মুক্ত পথের সমীকরণ হতে দেখা যায়-

• গড় মুক্ত পথ একক আয়তনে অণুর সংখ্যার ব্যস্তানুপাতিক।
• গড় যুক্ত পথ অণুর ব্যাসের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক।

আবার, গ্যাসের ঘনত্ব p একক আয়তনে অণুর সংখ্যা n-এর সমানুপাতিক। কিন্তু গ্যাসের ঘনত্ব গ্যাসের চাপের সমানুপাতিক এবং তাপমাত্রার ব্যস্তানুপাতিক। যেহেতু মুক্ত গড় পথ λ ~ 1/n, অতএব মুক্ত গড় পথ গ্যাসের চাপের ব্যস্তানুপাতিক এবং তাপমাত্রার সমানুপাতিক।