বাস্তব সংখ্যা কাকে বলে ubs

অংক (Digit)

অংক হচ্ছে হিসাবনিকাশ ও গণনার কাজে ব্যবহৃত চিহ্ন বা প্রতীক। গণিতে মোট অংক রয়েছে ১০টা। এগুলো হচ্ছে-

০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮ এবং ৯।

এদের মধ্যে সার্থক অংক ৯টা- ০ বাদে ১ থেকে ৯ পর্যন্ত,

অভাবজ্ঞাপক অংক ১টা- এটি হচ্ছে শূন্য (০), একে সাহায্যকারী সংখ্যাও বলা হয়।

 

সংখ্যা (Number)

এক বা একাধিক অংক মিলে সংখ্যা তৈরি হয়। সংখ্যার শেষে টি, টা, খানা থাকে। যেমন- ৭ টা বল, ১০ খানা বই, ৩২ টা ছাত্র।

সংখ্যায় ব্যবহার করা অংকগুলোর মান দুইভাবে নির্দেশ করা যায়-

a) স্বকীয় মান (Face Value)

b) স্থানীয় মান (Place Value)

এবার আমরা জানবো ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলো নিয়ে কিছু গুরুত্বপূর্ণ তথ্য-

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত – ০ আছে ১১টা

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত – ১ আছে ২১টা

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত – ২ থেকে ৯ সংখ্যাটি আছে ২০টা

 

ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম সংখ্যা

আমরা এবার জেনে ফেলি বিভিন্ন অংকের ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম সংখ্যা কত সেটা সম্পর্কে-

প্রদত্ত অংক	বৃহত্তম সংখ্যা	ক্ষুদ্রতম সংখ্যা
এক অংক বিশিষ্ট দুই অংক বিশিষ্ট তিন অংক বিশিষ্ট চার অংক বিশিষ্ট পাঁচ অংক বিশিষ্ট	৯ ৯৯ ৯৯৯ ৯৯৯৯ ৯৯৯৯৯	১ ১০ ১০০ ১০০০ ১০০০০

 

সমান সংখ্যক বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার যোগ

এবার আমরা বিভিন্ন অংকের সমান সংখ্যক বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে যোগ করে দেখি-

৯ + ১ = ১০

৯ ৯ + ১০ = ১০ ৯

৯ ৯৯ + ১০০ = ১০ ৯৯

৯ ৯৯৯ + ১০০০ = ১০ ৯৯৯

৯ ৯৯৯৯ + ১০০০০ = ১০ ৯৯৯৯

অর্থাৎ একই সংখ্যক অংকের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করার সময় যোগফল হিসেবে প্রথমে ১০ বসবে এবং বৃহত্তম সংখ্যার প্রথম ৯ অংকটি বাদ দিয়ে আর যে কয়টা ৯ থাকে সেগুলো বসবে।

 

সমান সংখ্যক বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগ

এবার আমরা বিভিন্ন অংকের সমান সংখ্যক বৃহত্তম সংখ্যা থেকে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে বিয়োগ করে দেখি-

৯ – ১ = ৮

৯ ৯ – ১০ = ৮ ৯

৯ ৯৯ – ১০০ = ৮ ৯৯

৯ ৯৯৯ – ১০০০ = ৮ ৯৯৯

৯ ৯৯৯৯ – ১০০০০ = ৮ ৯৯৯৯

অর্থাৎ একই সংখ্যক অংকের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করার সময় বিয়োগফল হিসেবে প্রথমে ৮ বসবে এবং বৃহত্তম সংখ্যার প্রথম ৯ অংকটি বাদ দিয়ে আর যে কয়টা ৯ থাকে সেগুলো বসবে।

এদিকে, বৃহত্তম সংখ্যার থেকে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে বিয়োগ করার সময় যদি বৃহত্তম সংখ্যার ডিজিট একটা বেশি থাকে ক্ষুদ্রতম সংখ্যার চেয়ে তবে তাদের বিয়োগফল সবসময় ১ হয়। যেমন-

১০ – ৯ = ১

১০০ – ৯৯ = ১

১০০০ – ৯৯৯ = ১

১০০০০ – ৯৯৯৯ = ১

১০০০০০ – ৯৯৯৯৯ = ১

 

বর্গের অন্তর / বিয়োগফল

দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গকে বিয়োগ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, সেই দুটো সংখ্যাকে যোগ করলে ঠিক সেই সংখ্যাটাই পাওয়া যায়। যেমন-

২^২ – ১^২ = ৩ এবং ২ + ১ = ৩

৩^২ – ২^২ = ৫ এবং ৩ + ২ = ৫

৪^২ – ৩^২ = ৭ এবং ৪ + ৩ = ৭

৫^২ – ৪^২ = ৯ এবং ৫ + ৪ = ৯

৬^২ – ৫^২ = ১১ এবং ৬ + ৫ = ১১

এই টেকনিকে যেসব অংক করা যাবে-

১. দুটো ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৭। বড় সংখ্যাটি কত? ছোট সংখ্যাটি কত?

২. দুটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যা বের করো যাদের বর্গের অন্তর ৯৩।

 

কোনো সংখ্যা a থেকে যত বড়, b থেকে তত ছোট

এই টাইপের ম্যাথ করার ক্ষেত্রে একটা ছোট উদাহরণ দেখি।

৩০ + ৫ = ৩৫ = ৪০ – ৫

অর্থাৎ, ৩৫ হচ্ছে এমন একটা সংখ্যা যা ৩০ থেকে যত বড়, ৪০ থেকে তত ছোট।

আবার, ৩০ ও ৪০ কে যোগ করে ২ দিয়ে ভাগ করলেও ৩৫ আসে-

(৩০ + ৪০) / ২ = ৩৫

তাহলে বলা যায়, একটা সংখ্যা a থেকে যত বড়, b থেকে তত ছোট এই টাইপের প্রশ্ন থাকলে আমরা সরাসরি (a+b) / ২ এর মান বের করলেই সংখ্যাটা চলে আসবে।

এই টেকনিকে যেসব অংক করা যাবে-

১. একটা সংখ্যা ৫৫৩ থেকে যত বড় ৬৫১ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

 

ক্রমিক সংখ্যা

যদি ক্রমিক সংখ্যা, ক্রমিক জোড় কিংবা বিজোড় সংখ্যার কথা বলে প্রশ্ন করা হয় তবে-

ক্রমিক সংখ্যা হিসেবে – x, x+1, x+2 এভাবে ধরতে হবে

ক্রমিক জোড় কিংবা বিজোড় সংখ্যা হিসেবে – x, x+2, x+4 এভাবে ধরতে হবে

এই টেকনিকে যেসব অংক করা যাবে-

১. তিনটি ক্রমিক ধনাত্নক সংখ্যার যোগফল ৬৩ হলে সংখ্যা তিনটি কত?

২. দুটি ক্রমিক ধনাত্নক সংখ্যার গুনফল ২৪ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

৩. তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুনফল ৬০ হলে তাদের যোগফল কত?

৪. তিনটি ভিন্ন পূর্ণসংখ্যার গুনফল ৬। সংখ্যাত্রয়ের সমষ্টির ২ গুন কত?

৫. তিনটি বিজোড় ক্রমিক সংখ্যার গুনফল ১৫ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত।

 

দুটো সংখ্যার যোগফল ও বিয়োগফল দেওয়া থাকলে

বড় সংখ্যা = (সংখ্যা দুটোর সমষ্টি + সংখ্যা দুটোর বিয়োগফল) / ২

ছোট সংখ্যা = (সংখ্যা দুটোর সমষ্টি – সংখ্যা দুটোর বিয়োগফল) / ২

এই টেকনিকে যেসব অংক করা যাবে-

১. দুটি সংখ্যার সমষ্টি ১৪৬ এবং অন্তর ১৮। সংখ্যা দুটো কত?

২. দুটো সংখ্যার যোগফল ২১ এবং বিয়োগফল ৭। বড় সংখ্যার অর্ধেক কত?

 

বীজগণিতের সূত্র

কিছু প্রশ্ন আছে যেগুলোকে সমাধান করার জন্য বীজগণিতের সূত্রের দরকার হয়। এই সূত্রগুলো হচ্ছে-

(x + y)² = x² + 2xy + y²

(x – y)² = x² – 2xy + y²

x² – y² = (x+y) (x-y)

(x+y)² = (x-y)² + 4xy

(x-y)² = (x+y)² – 4xy

এই সূত্রগুলো ব্যবহার করে যেসব অংক করা যাবে-

১. দুটো সংখ্যার যোগফল ১০ ও গুনফল ২৪। সংখ্যা দুটো কত?

২. দুটো সংখ্যার বিয়োগফল ৭ এবং গুনফল ৬০। সংখ্যাদুটো কত?

৩. দুটো সংখ্যার গুনফল ১২০ এবং তাদের বর্গের যোগফল ২৮৯ হলে সংখ্যা দুটি কত।

৪. দুটো সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ৮০ এবং তাদের পার্থক্যের বর্গ ১৬ হলে সংখ্যা দুটো কত?

৫. দুটো সংখ্যার সমষ্টি ১৫ এবং তাদের বর্গের সমষ্টি ১১৩ হলে সংখ্যা দুটি কত?

 

গসাগু থেকে সংখ্যা নির্ণয়

যে সংখ্যাটি দুটো বা তিনটা সংখ্যার মধ্যে গুন অবস্থায় থাকে তাকে সেসব সংখ্যার গসাগু বলে। যেমন-

৪২ = ৬ * ৭

৪৯ = ৭ * ৭

এখানে ৪২ ও ৪৯ সংখ্যা দুটোর মধ্যে ৭ গুন অবস্থায় আছে, তাই ৭ হচ্ছে এই সংখ্যা দুটোর গসাগু।

এই টেকনিকে যেসব অংক করা যাবে-

১. প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুনফল ৩৫, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুনফল ৬৩ হলে দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

২. তিনটি পরপর মৌলিক সংখ্যার প্রথম দুটির গুনফল ৯১, পরের দুটির গুনফল ১৪৩ হলে সংখ্যা তিনটি কত?

 

কন্ডিশন যুক্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা

a দিয়ে শুরু ও b দিয়ে শেষ হওয়া বৃহত্তম সংখ্যা ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বের করার ক্ষেত্রে আমরা যেভাবে সংখ্যাগুলোকে বের করতে পারি তার কিছু সিম্বল দেখানো হলো-

যদি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বের করতে বলে :

দুই অংক বিশিষ্ট – ab

তিন অংক বিশিষ্ট – a০b

চার অংক বিশিষ্ট – a০০b

পাঁচ অংক বিশিষ্ট – a০০০b

যদি বৃহত্তম সংখ্যা বের করতে বলে

দুই অংক বিশিষ্ট – ab

তিন অংক বিশিষ্ট – a৯b

চার অংক বিশিষ্ট – a৯৯b

পাঁচ অংক বিশিষ্ট – a৯৯৯b

এই টেকনিকে যেসব অংক করা যাবে-

১. ৩ দিয়ে শুরু ও ৫ দিয়ে শেষ হওয়া সাত অংক বিশিষ্ট ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

২. ৫ দিয়ে শুরু ও ১ দিয়ে শেষ হওয়া ছয় অংক বিশিষ্ট বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

 

স্বকীয় মান ও স্থানীয় মান (Face value & Place value)

স্বকীয় মান ও স্থানীয় মানের সংজ্ঞাতে না গিয়ে একটা টেকনিক মনে রেখে এদেরকে বের করবো। নিচের সংখ্যাটা খেয়াল করো-

৩৬৮৯৪৭৮

এখানে,

৯ এর স্বকীয় মান = ৯

৭ এর স্বকীয় মান = ৭

৩ এর স্বকীয় মান = ৩

অর্থাৎ যে সংখ্যার স্বকীয় মান বের করতে বলবে, সংখ্যাটা সেটাই হবে।

এবার,

৯ এর স্থানীয় মান = ৯০০০

৭ এর স্বকীয় মান = ৭০

৩ এর স্বকীয় মান = ৩০০০০০০

অর্থাৎ, যে সংখ্যার স্থানীয় মান বের করতে বলবে, সেই সংখ্যাটা লিখে অংকের মধ্যে সেই সংখ্যার পর যতগুলো সংখ্যা আছে তাদেরকে শূন্য (০) বানিয়ে দিতে হবে।

কিন্তু একটা সংখ্যাতে একই ডিজিট যদি অনেকগুলো থাকে তবে স্থানীয় মান আর এই নিয়মে বের করা যাবে না। চলো কিছু সংখ্যা দেখি-

৪৭২৪৮৭

এখানে দুই জায়গায় ৪ আছে। তাই ৪ এর স্থানীয় মান হবে – ৪০০৪০০

আবার আরেকটা সংখ্যা দেখি-

৭৫৪৮৬৮২

এখানে, ৮ এর স্থানীয় মান হবে – ৮০৮০

আরো একটা সংখ্যা দেখি-

৩৭৫৭৯৫২৫৭

এখানে ৫ এর স্থানীয় মান- ৫০০৫০৫০

আশা করি উদাহরণ গুলো দেখে বোঝা গিয়েছে কিভাবে স্থানীয় মান বের করা যায়।

আবার, যদি একটা সংখ্যাতে অনেকগুলো একই ডিজিট থাকার পর সেই ডিজিটের স্থানীয় মানগুলোর যোগফল /বিয়োগফল বের করতে বলে, তবে প্রতিটা ডিজিটের আলাদা আলাদা স্থানী মান বের করে তারপর তাদেরকে যোগ / বিয়োগ করতে হবে।

যেমন- ৫০৩৫৩৬ এই সংখ্যার ৩ এর স্থানীয় মানগুলোর যোগফল ও বিয়োগফল বের করতে হবে।

এক্ষেত্রে, ৩ যেহেতু দুটো জায়গায় আছে, তাই দুটো জায়গার জন্য আলাদা আলাদাভাবে এদের স্থানীয় মান হচ্ছে- ৩০০০ এবং ৩০।

তাই যোগফল = ৩০০০ + ৩০ = ৩০৩০

এবং বিয়োগফল = ৩০০০ – ৩০ = ২৯৭০

এই টেকনিকে যেসব অংক করা যাবে-

১. ৫২৭৪৩৫ সংখ্যাটিতে ৭ ও ৩ এর স্থানীয় মানের পার্থক্য কত?

২. ৩২৬৭৫১৪৯ সংখ্যাটিতে ৭ এর স্থানীয় মান ও স্বকীয় মানের পার্থক্য কত এবং যোগফল কত?

 

অংকদ্বয়ের স্থান পরিবর্তন সম্পর্কিত সমস্যা

দুই অংক বিশিষ্ট সংখ্যার একক স্থানীয় অংক x এবং দশক স্থানীয় অংক y হলে সংখ্যাটি = 10y + x

এখন সংখ্যাতে থাকা অংক দুটো যদি স্থান বিনিময় করে তবে নতুন সংখ্যাটি হবে = 10x + y

যদি দুই অংক বিশিষ্ট সংখ্যায় থাকা অংক দুটোর সমষ্টি / অন্তর যেকোনো সংখ্যা দেয়া থাকে (ধরি ৫ দেওয়া), তবে অংক দুটোকে x ও y না ধরে, x ও x + ৫ অথবা x ও x -৫ ধরে সমাধান করতে হবে।

এই টেকনিকে যেসব অংক করা যাবে-

১. দুই অংক বিশিষ্ট সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি ১০। সংখ্যাটি থেকে ১৮ বিয়োগ করলে অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

২. দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের গুনফল ৮। সংখ্যাটির সাথে ১৮ যোগ করলে অংকদ্বয় স্থান পরিবর্তন করে। সংখ্যাটি কত?

 

এবার দুটো মজার জিনিস মনে রাখো!

a) সাধারণ সংখ্যা এবং এর বিপরীত সংখ্যার পার্থক্য সবসময় ৯ দিয়ে বিভাজ্য হয়। যেমন-

স্বাভাবিক সংখ্যা = ৯৫

এর বিপরীত সংখ্যা = ৫৯

এদের বিয়োগফল = ৯৫ – ৫৯ বা ৩৬

এখানে ৩৬ হচ্ছে ৯ দ্বারা বিভাজ্য।

b) সাধারণ সংখ্যা এবং এর বিপরীত সংখ্যার পার্থক্য ৯ দিয়ে বিভাজ্য হবার পর যে ভাগফল পাওয়া যায় সেটি সংখ্যা দুটোর বিয়োগফলের সমান।

যেমন- ৯৫ ও ৫৯ সংখ্যা দুটোর পার্থক্য ৩৬ কে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল পাওয়া যায় = ৪।

আবার, ৯৫ সংখ্যাটির অংক দুটোর পার্থক্য = ৯ – ৫ বা ৪।

এই টেকনিকে যেসব অংক করা যাবে-

১. দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করলে ৫৪ বৃদ্ধি পায়। অংক দুটোর যোগফল ১২ হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান : ৫৪ / ৯ = ৬ হয়, অর্থাৎ অংকদ্বয়ের পার্থক্য হবে ৬। তাই অপশনে এমন উত্তর খুঁজতে হবে যাদের অংকদ্বয়ের পার্থক্য হবে ৬। আর সঠিক উত্তর হচ্ছে ৩৯। কেননা ৩৯ থেকে ৫৪ বাড়ালে ৯৩ হয়ে যায়।

২. দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি ৯। অংক দুটো স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে ৪৫ কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান : ৪৫ / ৯ = ৫ হয়, অর্থাৎ অংকদ্বয়ের পার্থক্য হবে ৫। তাই অপশন থেকে এমন উত্তর খুঁজতে হবে যার সংখ্যা দুটোর সমষ্টি ৯ এবং পার্থক্য হবে ৫। তাই উত্তর ৭২।

৩. দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি ৯। সংখ্যাটি হতে ৯ বিয়োগ করলে এর অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান : ৯ / ৯ = ১ হয়, অর্থাৎ অংকদ্বয়ের পার্থক্য হবে ১। তাই অপশন থেকে এমন উত্তর খুঁজতে হবে যার সংখ্যা দুটোর সমষ্টি ৯ এবং পার্থক্য হবে ১। তাই উত্তর ৫৪।

৪. দুই অংক বিশিষ্ট কোনো সংখ্যা এবং অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করলে গঠিত সংখ্যার পার্থক্য ৩৬ হয়। সংখ্যাটির অংকদ্বয়ের অন্তর কত?

সমাধান : ৩৬ / ৯ = ৪ হয়, অর্থাৎ অংকদ্বয়ের পার্থক্য হবে ৪।

৫. দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, সংখ্যাটির অংকদ্বয়ের যোগফলের ৪ গুন। সংখ্যাটির সাথে ২৭ যোগ করলে অংকদ্বয় স্থান পরিবর্তন করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান : ২৭ / ৯ = ৩ হয়। অর্থাৎ অংকদ্বয়ের পার্থক্য ৩। তাই অপশন থেকে এমন উত্তর বের করতে হবে যে সংখ্যার অংকদ্বয়ের পার্থক্য ৩ এবং যার মান সেই সংখ্যার অংকদ্বয়ের যোগফলের ৪ গুন। সঠিক উত্তর ৩৬। কেননা ৩+৬ = ৯ এবং ৯ * ৪ = ৩৬।

 

সংখ্যার গুন / ভাগ / ভগ্নাংশ

একটি সংখ্যা x হলে তার দ্বিগুন = 2x, তিনগুন = 3x, চার গুন = 4x হয়

আবার সেই সংখ্যার অর্ধেক = x/2, এক-তৃতীয়াংশ = x/3, এক-চতুর্থাংশ = x/4, দুই-তৃতীয়াংশ = 2x/3, তিন-পঞ্চমাংশ = 3x/5 হয়।

এবং সেই সংখ্যার বিপরীত সংখ্যা হয় = 1/x

এই টেকনিকে যেসব অংক করা যাবে-

১. একটি সংখ্যার তিনগুনের সাথে দ্বিগুন যোগ করলে সেটা ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?

২. কোনো একটি সংখ্যার ১৩ গুন থেকে ৪ গুন বাদ দিলে ১৭১ হয়। সংখ্যাটি কত?

৩. একটা সংখ্যার অর্ধেক তার এক-তৃতীয়াংশের চাইতে ১৭ বেশি৷ সংখ্যাটি কত?

৪. একটি সংখ্যা ও তার বিপরীত ভগ্নাংশের যোগফল সংখ্যাটির দ্বিগুনের সমান। সংখ্যাটি কত?

৫. একটি সংখ্যার ৫ গুনের সাথে তার বর্গ বিয়োগ করলে এবং পরবর্তীতে আরো ৬ বিয়োগ করলে বিয়োগফল শূন্য হয়। সংখ্যাটি কত?

৬. একটি সংখ্যার দ্বিগুনের সাথে ২০ যোগ করে প্রাপ্ত ফলাফল সংখ্যাটির ৮ গুন থেকে ৪ বিয়োগ করে প্রাপ্ত ফলাফলের সমান। সংখ্যাটি কত?

৭. একটি সংখ্যার ৫ গুনের সাথে ১০ যোগ করলে উত্তর হয় সংখ্যাটির ৫ গুন অপেক্ষা ৫ কম। সংখ্যাটি কত?

 

বিভাজ্যতা নির্ণয়

বিভাজ্যতা নির্ণয় বলতে কোনো সংখ্যাকে আর কোন কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করে ভাগফল শূন্য হবে সেটা বোঝায়। কাজেই আমরা এখন বিভিন্ন সংখ্যা নিয়ে রিসার্চ করবো এবং দেখবো সেই সংখ্যা গুলো দিয়ে অন্য কোনো সংখ্যাকে নিঃশেষে বিভাজ্য করার শর্ত গুলো।

এখানে নিঃশেষে বিভাজ্য মানে ভাগফল শূণ্য হয়ে যাওয়া।

 

২ এর বিভাজ্যতা

কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অংক = ০ হলে

অথবা সংখ্যাটা জোড় হলে

তবে সেই সংখ্যাটি ২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

যেমন : ৩৪, ৬০, ৫২, ৭০০ ইত্যাদি।

 

৩ এর বিভাজ্যতা

কোনো সংখ্যার অংক গুলোর যোগফল ৩ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হলে সেই সংখ্যাটিও ৩ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

যেমন : ৯৩, ৭৫, ৫৩১, ৮০১, ৩৭২৩ ইত্যাদি।

 

৪ এর বিভাজ্যতা

a) কোনো সংখ্যার একক ও দশক স্থানীয় অংক দুটো দিয়ে গঠিত সংখ্যা ৪ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হলে সেই সংখ্যাটি ৪ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

যেমন : ৬৩২, ৯৫৬।

b) কোনো সংখ্যার শেষের দুটো অংক শূন্য (০০) হলে সেই সংখ্যাটি ৪ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

যেমন : ১৩০০, ২৫০০০।

(মনে রাখবে – সংখ্যার শেষে দুটো শূন্য ০০ থাকলে সেটি ২৫ এবং ১০০ দিয়েও নিঃশেষে বিভাজ্য হয়)

 

৫ এর বিভাজ্যতা

কোনো সংখ্যার শেষে ০ কিংবা ৫ থাকলে সেটি ৫ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।

যেমন : ২০, ৬৫, ৩৭০, ৭৯৫।

 

৬ এর বিভাজ্যতা

যেসব সংখ্যা ২ ও ৩ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয় সেসব সংখ্যা ৬ দিয়েও নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।

যেমন : ৫৪, ৩৭২, ৪৫৩৬।

 

৭ এর বিভাজ্যতা

a) কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অংককে ৫ দিয়ে গুন করার পর সেই গুনফলকে অবশিষ্ট অংশের সাথে যোগ করলে সেই যোগফল যদি ৭ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয় তবে মূল সংখ্যাটাও ৭ দিয়ে বিভাজ্য হবে।

যেমন : ৭৯৮ সংখ্যাটি দেখি,

৭৯ + (৮ * ৫)

= ৭৯ + ৪০

= ১১৯

এখানে ১১৯ আবার ৭ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। তাই মূল সংখ্যা অর্থাৎ ৭৯৮ এটিও ৭ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য।

b) কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অংককে ২ দিয়ে গুন করার পর সেই গুনফলকে অবশিষ্ট অংশ থেকে বিয়োগ করলে সেই বিয়োগফল যদি ৭ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয় তবে মূল সংখ্যাটাও ৭ দিয়ে বিভাজ্য হবে।

যেমন : ৮৬১ সংখ্যাটি দেখি,

৮৬ – (১ * ২)

= ৮৬ – ২

= ৮৪

এখানে ৮৪ আবার ৭ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। তাই মূল সংখ্যা অর্থাৎ ৮৬১ এটিও ৭ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য।

 

৮ এর বিভাজ্যতা

a) কোনো সংখ্যার একক, দশক ও শতক স্থানীয় অংক তিনটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা যদি ৮ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয় তবে সেই সংখ্যাটিও ৮ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

যেমন : ৭১৩৬, ২০৫৬, ৫১০৪।

b) কোনো সংখ্যার শেষে তিনটা শূন্য (০০০) থাকলে সেটিও ৮ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

যেমন : ৩০০০, ১৩০০০, ৫৩০০০।

(মনে রাখো- সংখ্যার শেষে তিনটা শূন্য ০০০ থাকলে সেটি ১২৫ এবং ১০০০ দিয়েও নিঃশেষে বিভাজ্য হয়)

 

১১ এর বিভাজ্যতা

a) কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অংককে ঐ সংখ্যা থেকে বিয়োগ করলে যা থাকবে সেটি যদি ১১ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয় তবে মূল সংখ্যাটিও ১১ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

যেমন : ১২৪৩ সংখ্যাতে, ১২৪ – ৩ = ১২১, এখানে ১২১ আবার ১১ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য, তাই ১২৪৩ সংখ্যাটিও ১১ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। একইভাবে ১০৪৫ সংখ্যাটিও ১১ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য।

b) কোনো সংখ্যার অংক গুলোকে শেষ দিক থেকে জোড়া জোড়া করে যোগ করলে যদি সব যোগফল ১১ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, তবে মূল সংখ্যাটিও ১১ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

যেমন : ১২৪৩ সংখ্যাটিতে, ১২ + ৪৩ = ৫৫, যেখানে ৫৫ সংখ্যাটি ১১ দিয়ে বিভাজ্য। তাই ১২৪৩ সংখ্যাটিও ১১ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। ঠিক একইভাবে, ৪১৫৬২৪ সংখ্যাটিও ১১ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য।

 

ভাজক সংখ্যা

ভাজক : যে সংখ্যা দিয়ে অন্য কোনো সংখ্যাকে ভাগ করা যায় সে সংখ্যাকে ভাজক বলে।

ভাজ্য : ভাজক দিয়ে যে সংখ্যাকে ভাগ করা হয় তাই ভাজ্য।

যেমন : ৫ দিয়ে ২০ কে ভাগ করা যায়। তাই ৫ হচ্ছে ভাজক, ২০ হচ্ছে ভাজ্য।

মনে রাখবে, ভাজ্য সংখ্যাটি দিয়ে ভাজক সংখ্যাটিকে নিঃশেষে বিভাজ্য করা যায়।

ভাজক সংখ্যা নির্ণয়

একটা সংখ্যায় কতগুলো ভাজক আছে সেটা বের করতে হলে একটা উদাহরণ দেখি। ধরা যাক, ২০ এর মোট ভাজক সংখ্যা কত? তাহলে এবার এমন কিছু সংখ্যা বের করতে হবে যেগুলো দিয়ে ২০ নিঃশেষে বিভাজ্য হয়। এই সংখ্যা গুলো হচ্ছে-

২০ / ১ = ২০

২০ / ২ = ১০

২০ / ৪ = ৫

২০ / ৫ = ৪

২০ / ১০ = ২

২০ / ২০ = ১

তারমানে, ২০ কে যথাক্রমে ১, ২, ৪, ৫, ১০, ২০ এই ৬ টা সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায়। তাই ২০ এর মোট ভাজক সংখ্যা = ৬।

তবে পরিক্ষাতে এভাবে ভাজক সংখ্যা বের করলে টাইম বেশি লাগবে। তাই আমরা অন্য একটা উপায়ে ভাজক সংখ্যা বের করবো।

ভাজক সংখ্যা বের করার শর্ট টেকনিক হচ্ছে, যে সংখ্যাটা আমাদের দেয়া থাকবে, সেটিকে মৌলিক সংখ্যার গুনফল হিসাবে ভাঙ্গবো। তারপর মৌলিক সংখ্যা গুলোর পাওয়ার / ঘাত বের করবো। প্রতিটা ঘাত সংখ্যার সাথে ১ যোগ করে তারপর তাদেরকে আলাদা আলাদা ভাবে গুন করলেই মোট ভাজক সংখ্যা পাওয়া যাবে।

যেমন : ২৪ এর ভাজক বের করতে হলে প্রথমে ২৪ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো বের করবো-

২৪ = ২ * ২ * ২ * ৩

= ২৩ * ৩১

এখানে ২ এর উপর পাওয়ার ৩, ৩ এর উপর পাওয়ার ১। তাই এদের পাওয়ারকে ১ করে বাড়ালে পাবো-

৩ + ১ = ৪

১ + ১ = ২

এবার এদেরকে গুন করলে যা পাবো তাই ২৪ এর ভাজক সংখ্যা। অর্থাৎ ২৪ এর মোট ৪ * ২ = ৮টা ভাজক আছে। আর এরা হচ্ছে- ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ২৪।

এই টেকনিকে যেসব অংক করা যাবে-

১. ৭২ এর মোট ভাজক সংখ্যা কয়টা?

২. ৫৪০ এর কতগুলো ভাজক আছে?

৩. ৩২ ও ৬৪ এর ভাজক সংখ্যার পার্থক্য কত?

 

মৌলিক সংখ্যা

যেসব সংখ্যার কোনো প্রকৃত উৎপাদক নেই তারাই মৌলিক সংখ্যা। তবে এই কথাটা বেশ জটিল বলে আমরা বলতে পারি-

যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ব্যতীত আর কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না সেটিই মৌলিক সংখ্যা।